Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
46 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
Definição 3.2 (Coeficiente reduzido de custo). Em um programa linear, os
valores
r j = ∂cT x
= c j − z j
∂x j
são chamados de coeficientes reduzidos (ou “relativos”) de custo, e determinam
em quanto cada variável não básica melhora o objetivo quando
seu valor é aumentado em uma unidade.
3.4.2 Segunda definição
A segunda definição de coeficiente reduzido de custo (equivalente à primeira)
é como a diferença de valor que uma coluna tem na base e fora dela
(ou seja, quanto ganhamos se a incluirmos na base).
Também podemos definir o coeficiente reduzido de custo de outra
maneira. Chamamos A B de “base” porque ela é de fato base para o espaço
coluna de A. Qualquer coluna de A pode, portanto, ser escrita como combinação
linear das colunas de A B . Podemos facilmente calcular o valor de
uma variável quando ela está na base – basta olhar para seu coeficiente
c j no objetivo. Quando a variável não está na base, podemos calcular o
valor de sua coluna se a escrevermos como combinação linear da base e
usarmos os valores das colunas básicas. Por exemplo, suponha que uma
coluna a j esteja fora da base. Então
a j = α 1 a 1 + · · · + α 1 a m
⎛ ⎞
⎛ ⎞
a 11
a 1m
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= α 1 ⎝ . ⎠ + · · · + α m ⎝ . ⎠
a m1 a mm
Quando multiplicamos cada coluna da base por seu valor para obter o valor
de a j , temos
c 1 α 1 a 1 + · · · + c m α 1 a m
⎛ ⎞
⎛ ⎞
a 11
a 1m
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= c 1 α 1 ⎝ . ⎠ + · · · + c m α m ⎝ . ⎠
a m1 a mm
Versão Preliminar
= c T B A B,
que é o valor de uma coluna de A N . Quando fazemos o mesmo com todas
as colunas, temos
z = c T B A BA N ,