Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
6.2. PONTOS INTERIORES 105
Se c p ≠ 0, moveremos y em sua direção. Nos falta então determinar
quanto movê-lo. Seja então δ > 0. A nova solução será
Assim,
y ′ = y + δc p
D −1 y ′ = D −1 x + δc p
x ′ = x + δDc p .
d = Dc p
é o gradiente projetado, mas no espaço-x.
Já garantimos que a nova solução respeitará as restrições do problema,
porque projetamos o gradiente no espaço nulo de S. No entanto, ainda
falta garantir que a solução seja não-negativa: precisamos que x ′ ≥ 0 (ou
seja, todos os componentes de x ′ devem ser positivos). Como x ′ = Dy ′ ,
x ′ ≥ 0
Dy ′ ≥ 0
D(y + δc p ) ≥ 0
D(e + δc p ) ≥ 0 (y = e)
De + δDc p ) ≥ 0
x + δd ≥ 0
δd ≥ −x.
(D tem x na diagonal)
Para os componentes positivos de d i esta condição é trivialmente satisfeita.
Quando d i < 0, precisamos de
Podemos então tomar
δ ≤ − x i
.
d i
{
δ = min − x }
j
: d j < 0 .
j≤n d j
Versão Preliminar
Note que estamos minimizando em um conjunto de números positivos
(x j /d j , com d j < 0, x j > 0).
Para termos x ′ ponto interior (e não na fronteira do poliedro), podemos
escolher um valor um pouco aquém do que o δ calculado acima nos daria
(por exemplo, αδ, com α = 0.95).