Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
82 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
e o valor máximo para o primal é maior ou igual que o valor mínimo para
o dual.
Mostramos que c T x ≥ b T y, mas também sabemos pelo teorema 4.10
que c T x ≤ b T y, e portanto os dois valores devem ser iguais.
Teorema 4.14. Se o primal de um programa linear é viável e seu dual não
é então o primal é ilimitado.
Demonstração. Seja x viável para o primal. Como o dual é inviável, o sistema
a seguir não tem solução.
A T y ≥ c
y ≥ 0
Como não há solução para este sistema, pelo Lema de Farkas deve existir
solução para
Az ≥ 0
c T z > 0
z ≥ 0
Tomemos um z, solução do sistema acima. Observamos que z+ω é viável
para o primal se ω ≥ 0:
A(x + ωz) = Ax + ωAz
e como ωAz ≤ 0, x + ωz ≤ b. Mas temos também
c T (x + ωz) = c T x + ωc T z,
e como ω > 0, c T z > 0, temos que c T (x + ωz) → ∞ quando ω → ∞, e x
não é ótimo. Mais ainda, para qualquer x supostamente ótimo podemos
determinar x ′ dando valor maior para o objetivo.
Corolário 4.15. Se o primal de um programa linear é viável e f(x) = c T x é
limitada por cima então o dual é viável.
Se o dual de um programa linear é viável e g(y) = b T y é limitada por
baixo então o primal é viável.
Se tanto o primal como o dual forem viáveis, tanto f como g são limitadas,
f por cima e g por baixo.
Versão Preliminar
Teorema 4.16. Se tanto o primal como o dual são viáveis, ambos tem (a
mesma) solução ótima.