Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
6.1. O MÉTODO DO ELIPSOIDE 99
A próxima Figura ilustra o comportamento do algoritmo. A solução
corrente era x, e a restrição violada é representada por α (x está abaixo de
α, mas a restrição determina que a região viável é acima dela). Se movermos
α paralelamente a si mesma até tornar-se tangente no elipsoide, na
direção da viabilidade (ou seja, para cima e à direita no exemplo dado), obtemos
um ponto y. A nova solução x ′ estará entre x e y. O novo elipsoide,
menor, será tangente a y e conterá toda a área viável que estava contida
antes no primeiro elipsoide. Neste exemplo, x ′ é viável e o algoritmo pode
parar.
α
O primeiro elipsoide deve ser grande o suficiente para conter pelo menos
uma solução para o sistema, se alguma existir. Para determinar o tamanho
deste elipsoide usamos o número de bits que o problema ocupa quando
representado em um computador. Cada número pode ser representado
por ⌊1 + log 2
|n|⌋ bits mais um bit para o sinal. Para representar a matriz A,
o vetor b e os números n e m usamos L bits, onde
⎛
⎞ ⎛
⎞
L = ⎝ ∑ ∑
1 + ⌊1 + log 2
|a ij |⌋⎠ + ⎝ ∑ 1 + ⌊1 + log 2
|b i |⌋⎠
i≤m j≤n
i≤m
+ (⌊1 + log 2
n⌋) + (⌊1 + log 2
m⌋)
≥ ∑ ∑
⌈log 2
|a ij |⌉ + ∑ ⌈log 2
|b i |⌉
i≤m j≤n
i≤m
x
x ′ α ′
Versão Preliminar
+ ⌈log 2
n⌉ + ⌈log 2
m⌉ + 2m(n + 1) + 2
(Representamos n e m como inteiros sem sinal.)
y