Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
52 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
3.7 Que variável sai da base
Sabendo a coluna que entrará na base, nos resta escolher uma coluna da
base para remover. Como estaremos retirando um valor que contribui
para o objetivo, devemos escolher uma variável que, ao ser removida, removerá
do objetivo o menor valor possível (para problemas de maximização;
para minimização todo o raciocínio é simétrico).
Seja x = (x 1 , x 2 , . . . , x m , 0, . . . , 0) uma solução viável básica.
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a m x m = b (3.1)
Queremos introduzir a q na base. Quem sai
Observamos que, como A B é base para o espaço-coluna de A, a q pode
ser descrita como combinação linear de colunas de A B :
Seja ε ≥ 0. Calculamos (3.1)−ε(3.2):
e portanto
a 1q a 1 + a 2q a 2 + . . . + a mq a m = a q (3.2)
a 1 (x 1 − a 1q ε) + . . . + a m (x m − a mq ε) = b − εa q
εa q + a 1 (x 1 − a 1q ε) + . . . + a m (x m − a mq ε) = b
εa q + ∑ i≤m
a i (x i − εa iq ) = b
Para ε suficientemente pequeno mas não zero, x i − εa iq é uma solução
viável, mas não básica (com ε = 0 temos a solução básica da qual partimos,
x). Queremos aumentar ε tanto quanto pudermos, mas sem tornar
nenhum x i − εa iq negativo, porque assim tornaríamos a solução inviável.
Queremos então que, ∀i ≤ m,
x i − εa iq ≥ 0
x i ≥ εa iq
x i
a iq
≥ ε
Assim, escolhemos para deixar a base a coluna a p tal que p seja o índice
que minimiza x i /a iq :
{ }
xi
p = min : a iq > 0
i≤m a iq
Versão Preliminar
Se todos os a iq forem negativos, o programa linear é ilimitado.