Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.2. SOLUÇÕES VIÁVEIS PARA PROGRAMAS LINEARES 27
onde x B é o vetor composto pelas variáveis relacionadas às colunas em B.
A matriz B tem posto completo, portanto o sistema sempre terá solução.
As variáveis representadas pelas colunas que usamos para formar B
são chamadas de variáveis básicas, e as outras são as variáveis não básicas.
Ao resolver o sistema, determinamos valores para m variáveis. Se fizermos
as outras variáveis iguais a zero, teremos uma solução para Ax = b.
Definição 2.37 (solução básica). Seja Ax = b o conjunto de restrições de
um problema de programação linear, onde A tem m linhas e n colunas.
Seja B uma matriz formada por m colunas linearmente independentes de
A. Então os vetores x tais que Bx = b são chamados de soluções básicas
para o problema.
Suponha que a matriz A tenha posto m. A matriz B com m colunas LI
é uma base para o espaço-coluna de A – daí o nome “solução básica”.
Definição 2.38 (solução viável básica). x ∈ R n é solução viável básica para
um problema de programação linear se é viável e também básica.
Teorema 2.39. Seja S o conjunto de soluções viáveis para um programa
linear. Então uma solução viável x ∈ S é básica se e somente se é um
ponto extremo de S.
Demonstração. (⇐) Seja x ponto extremo de S e, sem perda de generalidade,
presuma que x 1 , x 2 , . . . , x k > 0 e x k+1 , . . . , x n = 0. Mostraremos
que as k primeiras colunas formam um conjunto LI, sendo portanto uma
solução viável básica.
Denotando a j-ésima coluna de A por a j , temos
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a k x k = b. (2.1)
Suponha que a 1 , . . . , a k são linearmente dependentes. Então, pela definição
de dependência linear,
∑
∃α 1 , α 2 , . . . , α k , αi a i = 0, (2.2)
com algum α i ≠ 0.
Usaremos os coeficientes desta combinação linear para descrever o
ponto xtremo x como combinação linear de outros pontos (o que seria
uma contradição).
Seja ε > 0. Sejam
Versão Preliminar
x 1 = (x 1 + εα 1 , x 2 + εα 2 , . . . , x k + εα k , 0, 0, . . . , 0) T
x 2 = (x 1 − εα 1 , x 2 − εα 2 , . . . , x k − εα k , 0, 0, . . . , 0) T