Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.1. INTERPRETAÇÕES DO DUAL 75
4.1 Interpretações do dual
Há duas interpretações importantes para o dual de um programa linear: a
operacional e a econômica.
4.1.1 Interpretação operacional
Os coeficientes reduzidos de custo (na última linha do tableau Simplex)
representam, para cada variável não básica, o quanto poderíamos melhorar
a função objetivo se ela fosse incluída na base. Esses coeficientes mudam
à medida que o Simplex tenta encontrar soluções que se mantenham
viáveis, mas mais próximas do ótimo. O vetor b representa o limite da viabilidade
– que não muda durante a execução do Simplex.
No problema dual, a função a ser otimizada é b T y – ou seja, procuramos
otimizar a distância até a viabilidade. Já as restrições são da forma
Ay ⋚ c – e como c não muda, estamos mantendo a condição de otimalidade.
Assim, o dual de um programa linear representa o problema de,
dada uma solução qualquer que tenha valor ótimo, encontrar aquela mais
próxima possível da viabilidade, mantendo o mesmo valor.
4.1.2 Interpretação econômica
Considere o problema de mistura a seguir: uma empresa produz refeições
prontas para companhias aéreas. Em cada refeição podem ser usadas
quantidades diferentes de alguns ingredientes.
Ao resolver o problema primal, maximizamos o lucro total obtido com
a produção das refeições escolhendo quanto usar de cada ingrediente. Resolvendo
o problema dual, minimizamos o custo de cada recurso (e para
isso diminuímos a quantidade usada, claro), de forma a manter o valor
ótimo de lucro.
Em outras palavras, resolver o primal significa partir de quantidades
de recursos menor que a ótima e aumentá-las até chegar ao ótimo, nunca
usando mais recursos que o possível; resolver o dual significa partir de
uma quantidade de recursos maior que o disponível, e diminuí-las (diminuindo
o custo) até chegar ao mínimo possível.
Versão Preliminar
4.2 Lema de Farkas
Nesta seção tratamos do Lema de Farkas. Para uma melhor compreensão
deste Lema, usaremos as definições de combinaçõs positivas e cones
gerados por vetores.