Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
34 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Exemplo 2.53. Seja f(a, b) = a 4 + b 2 . Temos
( )
∇ 2 12a
2
0
f(a, b) =
0 2
Já podemos perceber que os autovalores da Hessiana são a constante dois
e 12a 2 , que são sempre positivos, e a função é convexa.
Podemos também verificar que x T (∇ 2 f(a, b))x é sempre positivo. Para
qualquer x ∈ R 2 ,
x T ∇ 2 f(a, b)x = ( 12a 2 ) ( )
x
x 1 2x 1
2 = 12a 2 x 2 1
x + 2x2 2 > 0,
2
portanto f é convexa em R 2 .
Exemplo 2.54. Seja f(a, b) = e a + e b . Então
( )
∇ 2 e
a
0
f(a, b) =
0 e b
Novamente notamos que os autovalores são positivos – a função é convexa.
Para qualquer x ∈ R 2 ,
x T ∇ 2 f(a, b)x = ( ( )
x 1 e a x 2 e b) x 1
= x 2 1
x ea + x 2 2 eb > 0,
2
portanto f é convexa em R 2 .
Poderíamos também ter observado que f é a soma de e a com e b , duas
funções convexas – e a soma de funções convexas sempre é convexa. ◭
Exemplo 2.55. Seja f(a, b) = (a + b) 2 . Então
( )
∇ 2 2 2
f(a, b) =
2 2
Para qualquer x ∈ R 2 ,
Versão Preliminar
x T ∇ 2 f(a, b)x = ( ) ( )
x
2x 1 + 2x 2 2x 1 + 2x 1
2 = 2x 2 1
x + 2x2 2 + 4x 1x 2 .
2
A função quadrática 2x 2 1 + 2x2 2 + 4x 1x 2 é sempre positiva, portanto f é convexa
em R 2 .
Os autovalores da Hessiana são 0 e 4.
◭
◭