Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
58 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
Note que este problema tem uma solução viável básica trivial, com as novas
variáveis artificiais na base. Depois de resolvê-lo, chegamos ao seguinte
tableau:
⎛
⎞
1 0 0 9/16 5/16 7/16 3/32 25/8
⎜0 0 1 −3/8 1/8 3/8 −1/16 5/4
⎟
⎝0 1 0 −5/8 −5/4 1/16 1/16 11/4⎠
0 0 0 0 −1 −1 −1 0
O problema tem solução ótima com y = 0 e x = (25/8, 11/4, 5/4) T . Estes
valores para os x i não são ótimos para o problema original, mas são uma
solução viável básica, e podem ser usados como ponto de partida. Removemos
as variáveis y i do tableau e passamos a usar os custos originais,
c = (2, 5, 3, 1) T .
⎛
⎞
1 0 0 9/16 25/8
⎜0 0 1 −3/8 5/4
⎟
⎝0 1 0 −5/8 11/4⎠
0 0 0 33/8 95/4
O valor atual do objetivo é 95/4, mas esta solução não é ótima, porque há
um coeficiente reduzido de custo maior que zero. Temos
⎛ ⎞
9/16
z = (2, 3, 5) ⎝−3/8⎠ = (−25/8),
−5/8
e portanto c 4 − z 4 = 1 − (−25/8) = 33/8. A variável x 4 entrará na base, e a
primeira básica (x 1 ) deve sair. O pivô é 9/16. Após um passo do Simplex,
obtemos um novo tableau:
⎛
⎞
16/9 0 0 1 50/9
⎜ 2/3 0 1 0 10/3
⎟
⎝ 10/9 1 0 0 56/9 ⎠
−22/3 0 0 0 140/3
Agora sim, temos a solução ótima com x = (0, 56/9, 10/3, 50/9) T e valor
140/3. ◭
Exemplo 3.16. Temos agora o seguinte problema.
Versão Preliminar
max x 1 + x 2
s.a. : x 1 + 2x 2 ≤ 2
3x 1 + 4x 2 ≥ 12
x ≥ 0