Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
24 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Definição 2.26 (Politopo). Um politopo é um poliedro limitado.
Exemplo 2.27. Semiespaços e epigrafos de funções não são politopos. Um
polígono convexo (triângulo, quadrado, pentágono, etc) em R 2 é um politopo.
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A noção de dependência linear estende-se naturalmente para combinações
afim e convexas.
Definição 2.28 (afim-independente). Um conjunto de pontos é afim-independente
quando nenhum deles é combinação afim dos outros.
Exemplo 2.29. Os pontos (1, 1) e (2, 3) são afim-independentes. Se tentarmos
escrever um como combinação afim do outro, teremos
(1, 1) = λ(2, 3),
o que seria impossível.
Os pontos (2, 2) e (6, 6) também são afim-independentes, mesmo sendo
linearmente dependentes: se
(6, 6) = λ(2, 2),
deveríamos ter λ = 3, mas para que a combinação fosse afim, λ teria que
ser um.
◭
Exemplo 2.30. Os pontos (1, 2), (2, −2) e (5/4, 1) são afim-dependentes.
Para verificar, mostraremos que existem a, b, com a + b = 1, tais que
(1, 2) = a(2, −2) + b(5/4, 1).
Para obter os coeficientes resolvemos o sistema
2a + 5 4 b = 1
−2a + b = 2
a + b = 1
O sistema tem solução a = −1/3 e b = 4/3, e portanto (1, 2) é combinação
afim de (2, −2) e (5/4, 1).
◭
Versão Preliminar
Definição 2.31 (Dimensão de um politopo). Um politopo P tem dimensão
igual a d se d + 1 é o maior número de pontos afim-independentes que
podem existir em P.