Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
100 CAPÍTULO 6. OUTROS MÉTODOS
Teorema 6.2. Uma hiperesfera centrada na origem e com raio 2 L inclui
pelo menos uma solução para Ax ≤ b, se alguma existir.
Podemos portanto usar
inicialmente.
M 0 = 2 L I
Lema 6.3. Se o volume do elipsoide na k-ésima iteração é V k , então
V k+1 < V k e −1/(2n+2) < 1.
Temos portanto V k ≤ V 0 e −k/(2n+2) , e com isso podemos demostrar que
o algoritmo roda em tempo polinomial.
Teorema 6.4. O algoritmo do elipsoide tem complexidade de tempo polinomial.
Demonstração. Como o volume da esfera inicial é πC(n)(2 L ) n , onde C(n) →
0 quando n → ∞, o algoritmo pode parar emm
⌈
( )⌉
πC(n)2
nL
k = (2n + 2) log
ε
⌈
( )⌉
π2 (n+1)L
≤ (2n + 2) log
ε
⌈
)⌉
= (2n + 2)
(log π + log(2 n+1 ) + log 2L
ε
iterações. Cada iteração realiza O(n 2 ) operações, portanto a complexidade
do algoritmo é O(n 4 + n 3 log 2L ε ).
É possível mostrar que o número de iterações que calculamos é menor
que 6n(n + 1)L, e este é o critério de parada que usamos no algoritmo.
Se a inequação violada por x era a i e o elipsoide era definido por M
com centro em x, então um novo elipsoide com centro em
( ) 1 Ma
x ′ i
= x − √
n + 1
a T i Mai
Versão Preliminar
e com
M ′ =
(
n2
n 2 M − 2
(
Ma
i ) ( Ma i) )
T
− 1 n + 1 (a i ) T Ma i