Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
18 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
é combinação afim de x 1 , x 2 , x 3 .
Definição 2.5 (envoltória afim). A envoltória afim de um conjunto X ⊂ R n ,
denotada aff(X), é o conjunto de todas as combinações afim dos elementos
de X.
Exemplo 2.6. A envoltória afim de dois pontos diferentes é a reta passando
por eles: seja A = {x, y}, com x = (1, 2) e y = (1, 1). A envoltória afim dos
dois pontos é
aff(X) = {αx + (1 − α)y, α ∈ R}
ou
aff(X) = {( α + (1 − α), 2α + (1 − α) ) α ∈ R }
= {(1, α + 1), α ∈ R}
A envoltória afim de quatro ou mais pontos não coplanares em R 3 é todo o
R 3 . Seja B = {x, y, z}, com x = (1, 1), y = (1, 2) e z = (3, 1). Temos portanto
aff(B) = {( αx + βy + (1 − α − β)z, α, β ∈ R )}
= {(α, α) + (β, 2β) + (3 − 3(α + β), 1 − (α + β))}
A envoltória afim de três ou mais pontos não colineares (afim-independentes)
mas coplanares é o plano em que eles estão.
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Definição 2.7 (Combinação convexa). Uma combinação convexa de x 1 , x 2 , . . . , x n
é uma combinação afim com coeficientes não negativos.
Exemplo 2.8. Sejam x 1 , x 2 , x 3 elementos quaisquer. Então
é combinação convexa de x 1 , x 2 , x 3 .
0.2x 1 + 0.3x 2 + 0.5x 3
Definição 2.9 (Conjunto convexo). X ⊂ R n é convexo se ∀x, y ∈ X, todas
as combinações convexas de x e y também estão em X.
Alternativamente, podemos dizer que um conjunto S de pontos é convexo
se para toda reta r, S ∩ r é conexo, ou seja, S ∩ r forma um único
segmento (ou reta).
Versão Preliminar
Exemplo 2.10. Qualquer intervalo fechado [a, b] ⊂ R é convexo. Suponha
que x, y ∈ [a, b], e x < y. Claramente, temos a ≤ x ≤ y. Então para
qualquer combinação convexa z = λx + (1 − λ)y, temos x ≤ z ≤ y, que
implica que a ≤ z ≤ b, e a combinação z ∈ [a, b].
Lembramos que os intervalos (−∞, b] e [a, ∞) são fechados. ◭
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