Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
7.2. SOLUÇÃO INTEIRA 119
7.2 Solução inteira
O último Teorema desta seção é importante porque identifica os problemas
de transporte como uma classe de problemas para as quais podemos
obter soluções inteiras de forma eficiente (isto é relevante porque de maneira
geral, obter soluções inteiras para problemas de otimização linear é
difícil – veja o Capítulo 11).
Uma matriz A é triangular se puder ter suas linhas reordenadas de
forma que a ij = 0 sempre que i > j.
Teorema 7.7. A base para um problema de transporte é triangular.
Demonstração. Considere a tabela de transporte (7.3). Ela mostra claramente
a solução viável básica que estivermos trabalhando, portanto podemos
usá-la para representar uma base.
Suponha que tenhamos alocado valores em um conjunto de células,
obtendo uma solução viável básica.
Mostraremos que cada linha ou coluna tem o valor de exatamente uma
variável básica: primeiro mostramos que deve haver pelo menos uma variável
básica em cada linha/coluna, e depois argumentamos que deve haver
ao menos uma linha ou coluna onde não há mais que uma variável
básica alocada – e que o resultado deve valer para o sistema que resulta
de sua remoção.
Primeiro, notamos que não há linha ou coluna sem variável básica (ou
seja, sem célula alocada), porque os a i e b j são positivos.
Suponha, por absurdo, que cada linha e cada coluna tenham pelo menos
duas variáveis básicas alocadas. O número de variáveis básicas é então
k ≥2m
k ≥2n.
E portanto k ≥ m + n – mas temos somente m + n − 1 variáveis básicas
(porque este é o posto da matriz de restrições). Assim, existe ao menos
uma linha ou coluna onde há somente uma variável básica alocada. Se
removermos esta linha ou coluna, obteremos um sistema reduzido e o
argumento pode ser repetido.
Como podemos obter os valores de cada variável básica, uma a uma,
neste processo, por simples substituição, concluímos que a matriz é triangular.
Versão Preliminar
Além do fato da base ser triangular, os coeficientes nela são unitários,
e disso concluímos o Teorema a seguir.