ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 42 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX Isto significa que a matriz A N e os vetores c N e x N tem índices iniciando em m + 1: 3.3 Intuição geométrica ) A N = (a m+1 , a m+2 , . . . , a n , c T N = (c m+1, c m+2 , . . . , c n ), x N = (x m+1 , x m+2 , . . . , x n ). No capítulo 2, verificamos que as soluções viáveis básicas para um problema de programação linear são os pontos extremos do poliedro definido pelas restrições. Nas próximas seções desenvolveremos o método Simplex, que verifica uma sequência de pontos extremos (ou de soluções viáveis básicas) para o problema até chegar à solução ótima. Damos aqui uma intuição simples de como é o funcionamento do Simplex: Saindo de alguma solução viável básica (ponto extremo), o Simplex procura outra solução que possa obter trocando uma única coluna da base (portanto algum ponto extremos adjacente ao atual), e que ofereça vantagem, ou seja, cujo valor objetivo seja melhor que o da solução atual. Prossegue assim até o momento em que não haja pontos extremos adjacentes com valor melhor que o atual – que portanto deve ser ótimo. Exemplo 3.1. Ilustraremos esta idéia com o seguinte problema com duas variáveis. max 2x 1 + x 2 s.a.: x 2 ≤ 3 2x 1 + x 2 ≤ 4 Versão Preliminar 3x 1 − x 2 ≤ 1 x ≥ 0. A representação gráfica da região viável deste problema é dada a seguir.
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 3.3. INTUIÇÃO GEOMÉTRICA 43 Começamos com a solução viável básica x 1 = 0, x 2 = 0 (ou seja, x = 0, e mudamos uma coluna da base por vez, primeiro para (1/3, 0) e depois para a solução ótima (1, 2). −→ Tínhamos inicialmente uma base com variáveis de folga. Na primeira mudança, de (0, 0) para (1/3, 0), retiramos a folga da restrição 3x 1 − x 2 ≤ 1, e determinamos para x 1 o maior valor possível respeitando a restrição: chegamos a uma nova base, onde a folga desta restrição é zero, e o valor de x 1 é 1/3. Depois retiramos a folga da restrição 2x 1 + x 2 ≤ 4, e aumentamos o valor de x 2 , chegando à solução ótima (1, 2). As derivadas parciais do objetivo no ponto (1, 2) e na direção de seus pontos extremos vizinhos são todas negativas, portanto não há como melhorar a solução. ◭ −→ Versão Preliminar
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