Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
76 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
Definição 4.4 (combinação positiva). Uma combinação positiva de um conjunto
de vetores é uma combinação linear destes vetores, tendo coeficientes
não negativos.
Definição 4.5 (cone convexo). O cone convexo gerado por um conjunto de
vetores é o conjunto de todas as combinações positivas daquele conjunto.
Exemplo 4.6. Seja V = {(2, 0) T , (1, 1) T }. O cone gerado por estes dois vetores
é
{
} {
}
a(2, 0) + b(1, 1) : a, b ≥ 0 = (2a, 0) T + (b, b) T : a, b ≥ 0
{
}
= (2a + b, b) T : a, b ≥ 0
{
}
= (x, y) T : x > y ≥ 0 .
Os dois vetores são mostrados na figura a seguir; o cone formado por eles
é composto de todos os vetores na área sombreada.
v 2
Observe que para descrever um vetor de R 2 fora do cone como combinação
linear de v 1 e v 2 , teríamos que usar coeficientes negativos:
O vetor w = (1.5, 1) está contido no cone, e sua descrição é
z
v 2
Versão Preliminar
w
v 1
v 1
w = 1 4 (2, 0)T + (1, 1) T ,
com coeficientes positivos 1/4, 1. Já o vetor fora do cone, (1, 2) T é
z = − 1 2 (2, 0)T + 2(1, 1) T ,
com um coeficiente negativo.
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