Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
176 CAPÍTULO 13. OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR
• Se ∇ 2 f(x ∗ ) é definida positiva então x ∗ é mínimo local.
• Se ∇ 2 f(x ∗ ) é definida negativa então x ∗ é máximo local.
Note que exigimos que a Hessiana seja definida positiva (e não apenas
semidefinida).
Exemplo 13.9. Seja f(x, y) = 2 sen(x) + cos(y), cujo gráfico mostramos a
seguir.
2
0
−2
−4
−2 0
2
4 −5
Temos
( )
∇f(x, y) = (2 cos x, − sin(x)) T , ∇ 2 −2 sen(x) 0
f(x, y) =
.
0 − cos(x)
Queremos determinar se um dos pontos a seguir é mínimo local:
( ) ( )
−
π
2 −
π
, 2 .
0 π
Tomando o primeiro ponto, temos
Versão Preliminar
No entanto,
∇ 2 f(x, y) =
∇f(− π 2 , 0) = (2 cos −π 2 , − sin(0))T
= (2(0) − 0) T = 0.
( ) ( )
−2 sen(x) 0 2 0
= ,
0 − cos(x) 0 −1
0
5