ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 18 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS é combinação afim de x 1 , x 2 , x 3 . Definição 2.5 (envoltória afim). A envoltória afim de um conjunto X ⊂ R n , denotada aff(X), é o conjunto de todas as combinações afim dos elementos de X. Exemplo 2.6. A envoltória afim de dois pontos diferentes é a reta passando por eles: seja A = {x, y}, com x = (1, 2) e y = (1, 1). A envoltória afim dos dois pontos é aff(X) = {αx + (1 − α)y, α ∈ R} ou aff(X) = {( α + (1 − α), 2α + (1 − α) ) α ∈ R } = {(1, α + 1), α ∈ R} A envoltória afim de quatro ou mais pontos não coplanares em R 3 é todo o R 3 . Seja B = {x, y, z}, com x = (1, 1), y = (1, 2) e z = (3, 1). Temos portanto aff(B) = {( αx + βy + (1 − α − β)z, α, β ∈ R )} = {(α, α) + (β, 2β) + (3 − 3(α + β), 1 − (α + β))} A envoltória afim de três ou mais pontos não colineares (afim-independentes) mas coplanares é o plano em que eles estão. ◭ Definição 2.7 (Combinação convexa). Uma combinação convexa de x 1 , x 2 , . . . , x n é uma combinação afim com coeficientes não negativos. Exemplo 2.8. Sejam x 1 , x 2 , x 3 elementos quaisquer. Então é combinação convexa de x 1 , x 2 , x 3 . 0.2x 1 + 0.3x 2 + 0.5x 3 Definição 2.9 (Conjunto convexo). X ⊂ R n é convexo se ∀x, y ∈ X, todas as combinações convexas de x e y também estão em X. Alternativamente, podemos dizer que um conjunto S de pontos é convexo se para toda reta r, S ∩ r é conexo, ou seja, S ∩ r forma um único segmento (ou reta). Versão Preliminar Exemplo 2.10. Qualquer intervalo fechado [a, b] ⊂ R é convexo. Suponha que x, y ∈ [a, b], e x < y. Claramente, temos a ≤ x ≤ y. Então para qualquer combinação convexa z = λx + (1 − λ)y, temos x ≤ z ≤ y, que implica que a ≤ z ≤ b, e a combinação z ∈ [a, b]. Lembramos que os intervalos (−∞, b] e [a, ∞) são fechados. ◭ ◭ ◭
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 2.1. CONJUNTOS CONVEXOS 19 Exemplo 2.11. Damos exemplos de conjuntos convexos e não convexos em R 2 . São convexos: Os seguintes conjuntos de pontos não são convexos, e em cada um há a indicação de dois pontos com combinação convexa fora do conjunto. Definição 2.12 (Envoltória Convexa). A envoltória convexa de um conjunto X ⊂ R n é o menor subconjunto convexo de R n contendo X. Denotamos a envoltória convexa de X por [X]. Versão Preliminar Note que em muitos textos de Álgebra Linear, usa-se [X] para o subespaço gerado por X (todas as combinações lineares de vetores de X – o que é diferente da envoltória convexa). A figura a seguir ilustra um conjunto de pontos e sua envoltória convexa em R 2 . ◭
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