Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
36 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Ex. 12 — Sejam a e b dois pontos. O conjunto de pontos que não são mais
próximos de b do que a é {x| dist(x, a) ≤ dist(x, b)}. Este conjunto é convexo
Ex. 13 — Determine precisamente quando um subconjunto de R 2 definido
por um conjunto de inequações quadráticas {(x, y) : y ≤ ax 2 +bx+c}
é convexo. Generalize para mais que duas dimensões.
Ex. 14 — Prove o lema 2.49.
Ex. 15 — Mostre que o conjunto de todas as matrizes semidefinidas positivas
é convexo.
Ex. 16 — Mostre que uma função f em R n é linear se e somente se f é convexa
e côncava.
Ex. 17 — Mostre que nenhuma função polinomial de grau ímpar maior ou
igual a 3 e em uma variável é convexa.
Ex. 18 — Determine se são convexas:
i) f(a, b) = e a + log(b)
ii) g(a, b) = e a − log(b)
iii) h(a, b) = e a e b
iv) j(a, b) = log(a) log(b)
Ex. 19 — Prove que f(x) = x 2 1 /x 2 é convexa em R 2 onde x 2 > 0.
Ex. 20 — Identifique subdomínios onde as funções são convexas:
i) f(x, y) = sen(x) + cos(y)
ii) g(x, y) = sen(x) cos(y)
iii) h(x) = x log(x)
iv) j(x, y, z) = e x − z log(y)
v) k(x, y, z) = e x − log(xy) + z 2
Versão Preliminar
Ex. 21 — Prove o Teorema 2.44.
Ex. 22 — Prove o Teorema 2.45.
Ex. 23 — Suponha que queiramos otimizar uma função linear, sujeita a
restrições estritamente não lineares. Se soubermos que a região viável é