Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
7.1. SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL 117
Suponha, sem perda de generalidade, que retiramos a linha L n da matriz
(a última). Agora suponha, por absurdo, que ainda há uma combinação
linear das linhas, com nem todos os coeficientes nulos, igual a zero:
α 1 l 1 + α 2 l 2 + . . . + α m l m + β 1 L 1 + β 2 L 2 + . . . + β n−1 L n−1 = 0
Voltamos a atenção para a parte superior da matriz – veja (7.2). Cada x in
só aparece na linha l i (de fato, x 1n só aparece na linha l 1 , uma vez que não
estamos utilizando a linha L n ), e a única maneira de termos a combinação
linear igual a zero é ter o coeficiente α i = 0 (de outra forma teríamos α i x ik
no somatório). Como isso vale para todo i, então todos os α i devem ser
zero.
Como os coeficientes α k são zero, nos interessam os coeficientes β j .
Mas na parte inferior da matriz, cada x lj aparece uma única vez, e portanto
precisamos também que todos os β j sejam zero.
Assim, a única combinação linear que resulta em zero é com α i = 0 e
β j = 0, ∀i, j – portanto as m + n − 1 linhas são linearmente independentes
e o posto da matriz de restrições é m + n − 1.
Observe que isto significa que durante a execução do método Simplex
teríamos também m + n − 1 variáveis básicas.
7.1 Solução básica inicial
A solução viável que determinamos anteriormente, x ij = a ib j
X
, não é básica.
Nesta seção tratamos de como obter uma solução viável inicial que
também seja básica.
Podemos representar o sistema como uma tabela com m linhas e n
colunas, onde cada linha da tabela corresponde a uma linha ∑ j x ij = a i e
cada coluna da tabela corresponde a uma linha ∑ i x ijb j .
x 11 x 12 . . . x 1n a 1
x 21 x 22 x 2n a 2
.
.
(7.3)
x m1 x m2 x mn a m
b 1 b 2 . . . b n
Versão Preliminar
A regra do canto noroeste permite obter uma solução viável básica inicial.
O algoritmo começa com a célula no canto superior esquerdo. Alocamos
tanto quanto puder (isso significa que estamos determinando quanto
da fonte a 1 vai para o destino b 1 ), sem violar a viabilidade da solução. Se