Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
3.4. COEFICIENTES REDUZIDOS DE CUSTO 47
e se mantivermos a base representada como identidade, temos
z = c T B A N.
Assim, enquanto c j nos dá o valor de uma variável quando ela está na base,
z j nos dá seu valor quando a construímos sinteticamente quando ela não
está na base. O coeficiente reduzido de custo, r j = c j − z j é a diferença entre
os dois, e nos informa quanto poderemos ganhar incluindo a variável
na base. Claramente, quando todos os r j forem negativos, não há como
melhorar a solução.
3.4.3 Representação no tableau
Adicionamos a equação que dá o valor do objetivo ao sistema Ax = b:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2
.
.
a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m
c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n −z = −z 0
Reescrevendo a última linha usando apenas as variáveis não básicas,
obtemos
z = z 0 + r m+1 x 1 + r m+2 x 2 + . . . + r n x n
a 11 x 1 + . . . a 1m x 2 + a 1m+1 x m+1 + . . . + a 1n x n 0 = b 1
a 21 x 1 + . . . a 2m x 2 + a 2m+1 x m+1 + . . . + a 2n x n 0 = b 2
.
.
a m1 x 1 + . . . a mm x 2 + a mm+1 x m+1 + . . . + a mn x n 0 = b m
0 + . . . 0 + r m+1 x m+1 + . . . + r n x n −z = −z 0
onde r j = (c j − z j ). A coluna contendo zeros e −z nunca será parte de uma
base, e não a representaremos nos tableaux.
3.4.4 Exemplo
Versão Preliminar
Damos agora um exemplo do cálculo dos coeficientes reduzidos de custo.
Exemplo 3.3. Suponha que um programa linear tenha como objetivo maximizar
a função 2x 1 + 3x 2 + x 3 . Duas variáveis, x 4 e x 5 , foram adicionadas
para transformar restrições de desigualdade em igualdade. Suponha que