Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.4. ALGORITMO SIMPLEX DUAL 85
O método Simplex, quando aplicado ao primal, procura por várias soluções
viáveis (sempre obedecendo as restrições) e básicas, cada uma com
valor objetivo maior, até encontrar a solução ótima. Observando a formulação
do dual, podemos imaginar que se executarmos nele o mesmo
algoritmo, o que sempre se mantém é a condição de otimalidade (porque
c agora está no lugar de b), e que o que buscamos é uma solução cada vez
mais próxima da viabilidade. Isto é o que faz o algoritmo dual-simplex.
Suponha que tenhamos uma solução básica para o primal que tenha
valor melhor que qualquer ponto do politopo, mas que não seja viável.
Representamos esta solução pela base A B , tal que x B = A −1
B b.
Como a solução é ótima, c j − z j ≤ 0 para todo j, e
c j ≤ z j .
Seja y a solução correspondente para o dual. y = c T A −1 é viável:
A T (c T A −1
B ) ≥ c
Se y é ótima para o dual, então x é ótima para o primal.
Senão, x B tem algum elemento x i negativo.
Seja B = A −1
B , B i a i-ésima linha de B e
^y T = y T + εB i
com ε > 0 (ou seja, se A B fosse a identidade, mudaríamos somente o valor
de x i ). Então
Como ε > 0 e x i < 0,
^y T b = y T b + εB i b
= y T b + εx i . (4.1)
^y T b < y T b,
o que significa que ^y é uma solução melhor para o dual (que é um problema
de minimização), para qualquer ε > 0. Nos resta saber como escolher
ε de forma que ^y seja viável.
Observe que B i a j , para j > m, é igual a a ij . Para j ≤ m, B i a j = δ ij (este é
o δ de Kronecker 1 ).
Versão Preliminar
1 δ ij = 1 se i = j, e zero caso contrário.
B