Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
8.2. ESTRATÉGIA MISTA 129
reduzidos de custo para obter sua estratégia ótima. Neste exemplo, temos
y = ( 0 0.2666 0 0.7333 ) T
e evidentemente, o valor ótimo para o jogador coluna é +160.
Teorema 8.1 (Minimax). Em um jogo de soma zero com dois participantes,
sempre existem um valor v e estratégias mistas x, y que garantem o
retorno esperado de v para um dos jogadores e −v para o outro.
Demonstração. O programa linear que representa o problema de A é viável,
∑
porque x = (1, 0, . . . , 0) é solução; além disso, é limitado (a restrição
x = 1 nos garante isso). Assim, de acordo com o Corolário 4.15 tanto
este programa linear como seu dual tem solução ótima.
O programa linear correspondente ao problema de otimização para o
jogador A é o dual daquele correspondente ao problema do jogador B. O
valor ótimo para os dois programas lineares é o mesmo, e com isso a prova
está concluída.
Notas
John von Neumann e Oskar Morgenstern publicaram em 1944 o livro “Theory
of Games and Economic Behavior” [NM07], onde desenvolvem sistematicamente
a Teoria dos Jogos, inclusive o Teorema minimax e a Teoria
da Utilidade.
Há diversos outras categorias de jogos além dos que descrevemos neste
Capítulo, com duas pessoas e soma zero. Apenas como exemplo, jogos podem
ser classificados de acordo com os seguintes critérios, dentre outros.
• o resultado das ações pode ser perfeitamente determinado; probabilístico;
ou indeterminado (há um conjunto de possíveis resultados
para cada estratégia, mas não se conhece probabilidades sobre eles).
• pode-se ter um só jogador (em um jogo contra a natureza) ou diversos
jogadores
• há jogos com informação imperfeita, onde a informação a respeito
dos movimentos anteriores não é completo
Versão Preliminar
• quanto aos pagamentos, além de soma zero há jogos com soma constante
e jogos com soma variável.
Uma exposição mais ampla da Teoria dos Jogos pode ser encontrada
no livro de Martin Osborne e Ariel Rubinstein [OR94] ou, em uma segunda
leitura, no livro de Drew Fudenberg e Jean Tirole [FT91].