Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
40 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
viável básica. Note que os coeficientes das variáveis não zero é um, e os
manteremos assim durante toda a execução do algoritmo Simplex.
Representaremos o sistema de equações na forma de matriz:
⎛ x 11 x 21 x 31 x 40 x 50 b ⎞
10
⎝−2 3/4 0 1 0 5⎠
1 −1 0 0 1 −3
e podemos então reescrever as variáveis da forma como quisermos simplesmente
usando operações elementares, semelhante aos passos de eliminação
de Gauss, exceto que nosso objetivo não é transformar a matriz
em forma triangular. O objetivo é escrever as variáveis básicas como função
das não básicas: No tableau anterior a segunda linha, por exemplo,
significa
−2x 1 + 3 4 x 2 + 0x 3 + x 4 + x 5 = 5.
Isolando x 4 , que é a única variável básica com coeficiente diferente de zero
nesta linha,
x 4 = 5 − 2x 1 − 3 4 x 2
Neste momento, a solução atual dá o valor 5 − 0 − 0 = 0 para x 4 , mas a
representação da linha nesta forma nos ajuda a compreender o que acontecerá
quando dermos valores positivos a x 1 e x 2 .
Todo tableau Simplex pode ser lido, portanto, como uma expressão
das variáveis básicas (ou da solução atual) em função das não-básicas.
Agora introduzimos x 2 na base, retirando x 5 . Reescreveremos o sistema
de forma que a coluna relativa a x 2 torne-se igual à coluna que agora
representa x 5 .
Conceitualmente, tomaremos a linha onde tínhamos x 5 representada
como função das outras, e isolaremos x 2 , que passará a ser então representada
como função das não básicas. Para isso, usamos eliminação de
Gauss de forma a tornar a 32 = 1 e a 12 = a 22 = 0. Primeiro, dividimos a
linha 3 por a 32 = −1, e obtemos
( )
−1 1 0 0 −1 3
Somamos múltiplos desta linha às outras, para obter zeros no resto da coluna
dois (somamos -3/4 da linha 3 à linha 2, e somamos -1 vezes a linha 3
à linha 1):
⎛
2 0 1 0 1
⎞
7
⎝−5/4 0 0 1 3/4 11/4⎠
−1 1 0 0 −1 3
Versão Preliminar