Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
44 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
3.4 Coeficientes reduzidos de custo
Embora possamos facilmente identificar a restrição (e consequentemente
a coluna) que deve entrar na base no próximo passo do Simplex, esta intuição
visual não é suficiente para implementar o algoritmo – que deve funcionar
para dimensões arbitrárias. Para cada variável não básica em um
tableau Simplex existe um número que usaremos para decidir se ela deve
ou não entrar na base. Daremos duas definições diferentes (mas equivalentes)
para estes números, chamados de coeficientes reduzidos de custo.
3.4.1 Primeira definição
Nossa primeira definição para coeficiente reduzido de custo é como a derivada
do objetivo na direção de cada variável não básica, porque com elas
poderemos determinar exatamente quais variáveis melhorarão o objetivo
se as incluirmos na base.
O valor do objetivo usando apenas as variáveis básicas é dado por
Agora partimos do sistema Ax = b:
z 0 = c T B x B.
Ax = b
A B x B + A N x N = b
Como estamos considerando A B = I,
x B = b − A N x N
c T B x B = c T B b − cT B A Nx N
Seja z = c T B A N, de forma que z j = c 1 a 1j + c 2 a 2j + . . . + c n a mj , para j > m
(lembre-se que os índices das colunas de A N começam com m + 1).
⎛
⎛
⎞
a 1,m+1 a 1,m+2 , · · · a 1,n
c T B A ⎜
N = (c 1 , c 2 , . . . , c m ) ⎝
.
. ..
⎟
⎠ = ⎜
⎝
a m,n
Versão Preliminar
a m,m+1
z m+1
z m+2
.
z n
⎞
⎟
⎠ ,
onde z j = ∑ i≤m c ia ij . Indexamos z a partir de m + 1, porque também tem
n − m elementos (um para cada variável não básica).