Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
50 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
Já sabemos que os coeficientes reduzidos de custo, dados por r j =
c j − z j , nos informam quanto uma unidade de cada variável não básica x j
aumenta a função objetivo, e podemos portanto escolher alguma variável
com r j > 0 (presumindo que estamos maximizando – se estivermos minimizando
escolhemos r j < 0), tendo assim a garantia de que melhoraremos
a solução.
Este raciocínio é formalizado no teorema 3.5.
Teorema 3.5. Seja x uma solução viável não degenerada para um problema
de programação onde queiramos maximizar o objetivo, sendo z o
valor de x. Se o programa linear é limitado e existe j tal que (c j − z j ) > 0
então há uma solução viável x ′ com valor z ′ > z, e x ′ pode ser obtida incluindo
a j na base.
Demonstração. Temos x = (x 1 , x 2 , . . . , x m , 0, . . . , 0). Suponha, sem perda
de generalidade, que j = m + 1. Seja então
x ′ = (x 1 ′ , x′ 2 , . . . , x′ m, x m+1 ′ , 0, . . . , 0),
com x
m+1 ′ > 0 uma solução viável. Temos
z ′ = z + ∑ j>m(c j − z j )x j
Como nesta soma somente x m+1 > 0,
z ′ − z = (c m+1 − z m+1 )x m+1
Mas tanto (c m+1 − z m+1 ) como x m+1 são positivos, portanto z − z 0 > 0 e
z ′ > z.
Os dois corolários a seguir são consequências simples do teorema 3.5.
Corolário 3.6. Se c j −z j ≤ 0 para todo j, a solução representada no tableau
é ótima.
Versão Preliminar
Corolário 3.7. Se c j − z j = 0 para alguma variável não básica x j , então há
mais de uma solução viável básica ótima (e consequentemente infinitas
soluções ótimas).
Proposição 3.8. Se a ij ≤ 0 para todos i e j, o problema é ilimitado.