Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.3. TEOREMAS DE DUALIDADE 81
Teorema 4.13 (dualidade forte). Se o primal ou o dual de um programa
linear tem solução ótima, o outro também tem, e os valores das soluções
ótimas são iguais.
Demonstração. Sejam max c T x s.a Ax ≤ b o primal de um programa linear
e min b T y s.a A T y ≤ c seu dual. Suponha que o primal tem solução ótima
x ∗ , com valor v = c T x ∗ .
O hiperplano c T x ∗ = v toca no poliedro apenas no ponto ótimo x ∗ (ou
nos pontos ótimos, se houver mais de um).
a 2 x = b 2
c
a 1 x = b 1
c T x ∗ = v
Aqui denotamos por a i a i-ésima linha de A. Sejam a 1 x ≤ b 1 , a 2 x ≤ b 2 , . . .
as restrições do primal, e considere os hiperplanos a 1 x = b 1 , a 2 x = b 2 , que
definem a borda do poliedro. Já o hiperplano c T x ∗ = v, ortogonal a c e que
toca o poliedro em x ∗ , é claramente uma combinação linear não negativa
dos hiperplanos definidos pelos a i x = b i . Temos portanto
E consequentemente,
λ 1 (a 1 x)
+λ 2 (a 2 x)
+λ 3 (a 3 x)
=
λ 1 b 1
+λ 2 b 2
+λ 3 b 3
.
.
∑
λi a i x = ∑ λ i b i
c T = ∑ λ i a i
v = ∑ λ i b i
Versão Preliminar
Então,
{
}
max c T x|Ax ≤ b, x ≥ 0 = v = ∑ λ i b i ,
mas temos também
∑ {
}
λi b i ≥ min b T y|A T y ≥ c, y ≥ 0 ,