Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
3.5. A OPERAÇÃO DE MUDANÇA DE BASE 49
3.5 A operação de mudança de base
Outra maneira de visualizar o tableau Simplex:
⎛
⎝ A B A N
⎞
b
⎠
c T B
c T N −z 0
Queremos percorrer diferentes bases do programa linear, sempre aumentando
o valor da função objetivo. Manteremos as colunas da base sempre
formando uma matriz identidade m × m. Como já vimos antes, isto representa
a descrição de cada uma das variáveis básicas em função das não
básicas.
Suponha agora que queiramos incluir uma variável x q na base, retirando
x p . Podemos escrever x q em função das variáveis não básicas (inclusive
x p ). Para isso basta operarmos as linhas do tableau, forçando a coluna
a q a ficar igual a a p . Para isso pode-se usar a operação definida a seguir.
A fim de simplificar as referências ao tableau, usaremos a in+1 para b i
e a m+1j para r j .
Proposição 3.4. Seja um tableau Simplex representando o programa linear
definido por A, b e c. Seja a p uma coluna da base e a q uma coluna fora da
base. Então a seguinte operação modifica a coluna a q de forma que fique
idêntica a a p , podendo substituí-la na base – e modifica também todas as
colunas de A N , inclusive a p , de maneira que as soluções de Ax = b sejam
as mesmas. Para todo elemento a ij , inclusive na coluna b e na linha do
objetivo, faça:
a ′ pj = a pj
a pq
a ′ ij = a ij − a pja iq
a pq
(i ≠ p).
Demonstração. A coluna a p tinha zeros exceto em a pp , onde tinha um.
Para a q , temos a pq ′ = a pq /a pq = 1, e pode-se verificar que para todo i ≠ p,
a
iq ′ = 0. A operação não muda as soluções: a primeira é multiplicação de
linha por escalar, e a segunda é soma de múltiplo de linha a outra.
Versão Preliminar
3.6 Que variável entra na base
Sabemos como retirar uma coluna a p da base, trocando-a por outra coluna
a q . Agora tratamos de como escolher a coluna (ou seja, a variável) que
deve ser incluída na base.