Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
6.1. O MÉTODO DO ELIPSOIDE 101
conterá a interseção do elipsoide anterior com o semiespaço definido pela
inequação a i . O pseudocódigo do algoritmo do elipsoide é dado a seguir.
x ← 0
M ← 2 L I
repita 6n(n + 1)L vezes :
se Ax < b PARE -- retorne x
senao
determine inequa ção violada por x ((a i ) T x > b i )
x ← x − ( )
1 √Ma i
n+1 a T
i Ma
(
i
M ←
n2 M − 2 (Ma i )(Ma i ) T
n 2 −1
n+1
PARE -- não há solu ção
(a i ) T Ma i )
6.1.2 Resolvendo problemas de programação linear
Descrevemos o método do elipsoide como uma maneira de encontrar um
ponto que satisfaça um sistema de inequações Ax ≤ b. Nesta seção mostramos
que com isto podemos resolver quaisquer problemas de programação
linear.
Considere o seguinte programa linear:
max c T x
s.a.: Ax ≤ b
x ≥ 0
Para resolvê-lo usando o método do elipsoide, usaremos seu dual:
min b T y
s.a.: A T y ≥ c
y ≥ 0
Sabemos que as soluções ótimas para estes problemas são tais que
Ax ≤ b
(restrições do primal)
Versão Preliminar
−A T y ≤ −c
(restrições do dual)
−c T x + b T y ≤ 0 (dualidade: c T x = b T x)
−x ≤ 0
−y ≤ 0
(não-negatividade)
(não-negatividade)