Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
3.10. MINIMIZAÇÃO E DESIGUALDADES DO TIPO ≥ 61
O funcionamento do método do M grande é garantido pelas proposições
a seguir.
Proposição 3.18. Se 3.6 é ilimitado e 3.5 é viável, então 3.5 é ilimitado.
Proposição 3.19. Se 3.5 é viável e tem solução ótima finita, então existe um
M > 0 tal que o tableau final do Simplex para 3.6 terá as variáveis artificiais
fora da base.
Proposição 3.20. Se 3.5 é inviável então não existe M > 0 para o qual o
tableau final do Simplex para 3.6 terá as variáveis artificiais fora da base.
Exemplo 3.21.
max : 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4
s.a.: 2x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 2
x 2 + x 3 − x 4 = 4
4x 1 + 2x 2 − 8x 3 + 4x 4 = 8
x ≥ 0
Usando o método do M grande, com M = 500, reescrevemos o problema
da forma a seguir.
min : 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4 − 500y 1 − 500y 2 − 500y 3
s.a.: 2x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 + y 1 = 2
x 2 + x 3 − x 4 + y 2 = 4
4x 1 + 2x 2 − 8x 3 + 4x 4 + y 3 = 8
x, y ≥ 0
Obtemos a solução ótima x = (0, 56/9, 10/3, 50/9) T e y = 0.
3.10 Minimização e desigualdades do tipo ≥
Até agora mantivemos o foco em problemas de maximização com desigualdades
do tipo ≤. Era simples obter para esses problemas um tableau
Simplex inicial, porque as variáveis de folga de das restrições formavam
no tableau uma submatriz identidade. Em problemas de minimização,
que usualmente tem restrições do tipo ≥, esta solução não seria possível,
porque as variáveis de folga tem coeficiente −1, e o que surge no tableau
é a identidade multiplicada por −1. Na última seção mostramos como lidar
com esta situação, adicionando variáveis artificiais. Agora ilustraremos
aquelas técnicas em problemas de minimização.
Versão Preliminar
◭