Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.1. CONJUNTOS CONVEXOS 21
é combinação convexa de x 1 , x 2 , . . . , x m−1 . Pela hipótese de indução, x ′ ∈
C. Como x m ∈ X, então x m ∈ C. Então
x = (1 − t m )x ′ + t m x m
é combinação convexa de dois pontos em C e, como C é convexo, x ∈
C.
Cada restrição de um programa linear define uma região do espaço
que chamamos de semiespaço. Definimos a seguir hiperplano e semiespaço.
Definição 2.14 (hiperplano). Seja X um conjunto de pontos X ⊂ R n tal que
para todo x ∈ X, existem a i e b, com pelo menos um a i diferente de zero,
Então X é um hiperplano em R n .
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b.
Exemplo 2.15. Retas são hiperplanos em R 2 , e planos são hiperplanos em
R 3 . Similarmente, pontos são hiperplanos em R.
◭
Definição 2.16 (semiespaço). Em R n , um semiespaço é a região de um dos
lados de um hiperplano. Em outras palavras, são os pontos x tais que
para determinados a i , b ∈ R.
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n ≥ b,
Exemplo 2.17. O conjunto {x ∈ R : x ≤ k} com k constante é o intervalo
(−∞, k], que é um semiespaço de R.
◭
Exemplo 2.18. As soluções para uma desigualdade em R n definem um
semiespaço.
◭
Semiespaços são convexos: se S é o conjunto de pontos de um dos lados
de uma reta, as combinações convexas de pontos de S também estarão
naquele mesmo lado da reta.
Versão Preliminar
Definição 2.19 (Epigrafo). Seja f : R n → R uma função. O epigrafo de
f é o conjunto de pontos (x 1 , x 2 , . . . , x n , x n+1 ) ∈ R n+1 tais que x n+1 ≥
f(x 1 , x 2 , . . . , x n ).
A figura a seguir mostra o epigrafo da função f(x) = x3
30 − 3 2 x + 4.