Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
Apêndice A
Teoria da Utilidade
No Capítulo 8 descrevemos uma matriz de pagamentos, que determina
quanto cada jogador ganha ou perde em um jogo. As entradas da matriz
de pagamentos não precisam necessariamente representar valor monetário
– ou qualquer quantidade mapeada diretamente do mundo real. Estes
valores podem também indicar preferências dos jogadores. Dizemos que
cada valor na matriz representa a utilidade do retorno para o jogador. Por
exemplo, no jogo de par ou ímpar, a utilidade dos dois retornos pode ser
modelada como +1 e −1 – ou +k r −k, para qualquer k ≠ 0, importando
apenas que a utilidade de uma vitória é igual à utilidade de uma derrota,
multiplicada por −1.
Em Microeconomia, as preferências dos indivíduos são modeladas como
utilidade: dado um conjunto X de opções, as preferências de um indivíduo
são descritas como uma função u : X → R, sendo que quando o indivíduo
prefere x a y, então u(x) > u(y).
Sejam A um conjunto de opções; X, Y ∈ A duas opções com utilidades
x e y respectivamente. Supomos que o indivíduo pode obter X ou Y com
diferentes probabilidades: Pr(X) = p e Pr(Y) = 1 − p. Esta distribuição de
probabilidades sobre as opções é chamada de loteria. Podemos calcular a
utilidade esperada para esta loteria, sabendo as utilidades das duas opções:
L = pX + (1 − p)Y
Versão Preliminar
Teorema A.1 (da utilidade esperada). Seja A um conjunto de opções para o
qual a relação ≼ de preferências de um indivíduo sejam conhecidas. Sejam
as loterias a seguir todas definidas sobre elementos de A. Se
i) Completude: dadas duas loterias L e M, então L ≼ M, M ≼ L ou
ambos;
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