Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
28 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Temos x j > 0 para j ≤ k. Então existe ε > 0 tal que os primeiros k elementos
de x 1 e x 2 são maiores que zero:
Pode-se verificar que
0 < ε < min
x j + εα j > 0
x j − εα j > 0
j
{
xj
}
|α j | , α j ≠ 0
satisfaz estas condições.
Temos portanto x 1 e x 2 viáveis (ambos maiores que zero). Mas x =
1
2 x1 + 1 2 x2 , e x é combinação convexa de x 1 e x 2 – não pode ser ponto
extremo!
Concluímos que nossa hipótese era falsa: a 1 , . . . , a k é linearmente independente,
e a solução é básica.
(⇒) Suponha que x ∗ é uma solução viável básica, com componentes
x ∗ 1 , x∗ 2 , . . . , x∗ m, 0, 0, . . . , 0. O valor dos x ∗ i
é dado por
∑
a ij x j = b i , i = 1, 2, . . . , m. (2.3)
j≤m
Como a 1 , a 2 , . . . , a m é linearmente independente, as soluções são únicas.
Suponha que x ∗ não é ponto extremo de S. Então deve ser combinação
linear de duas soluções viáveis x 1 e x 2 , diferentes entre si.
x ∗ j = λx1 j + (1 − λ)x2 j ,
j ≤ m
0 = λx 1 j + (1 − λ)x2 j , j > m
para 0 < λ < 1.
Como x 1 j , x2 j ≥ 0 então x1 j , x2 j
= 0 para j > m.
Restam os x 1 j e x2 j
com j ≤ m. Como as soluções para o sistema (2.3) são
únicas, necessariamente temos x ∗ j
= x 1 j
= x 2 j
, mas havíamos presumido
x 1 ≠ x 2 .
Concluímos então que x ∗ não pode ser descrito como combinação linear
de pontos de S – é um ponto extremo.
Versão Preliminar
Teorema 2.40. O conjunto de soluções ótimas para um programa linear é
um conjunto convexo.