Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
13.1. OTIMIZAÇÃO SEM RESTRIÇÕES 173
0
−0.5
−1
−1
0
1
2
3 −2
O gráfico da função mostra que pode haver uma grande quantidade de ótimos
locais em uma função não convexa – o que é uma grande dificuldade
para os métodos de otimização.
◭
13.1.1 Condições de otimalidade
Nesta seção abordamos as condições necessárias e suficientes para que
um ponto seja ótimo local. Tratamos separadamente de condições de primeira
ordem (que envolve o gradiente do objetivo) e de segunda ordem
(onde a matriz Hessiana é usada).
Para demonstrar as condições necessárias de otimalidade usamos o
Teorema de Taylor.
Teorema 13.4 (de Taylor). Seja f : R n → R contínua e diferenciável, e seja
y ∈ R n . Então existe t ∈ (0, 1) tal que
f(x + y) = f(x) + ∇f(x + ty) T y.
Além disso, se f é duas vezes diferenciável,
f(x + y) = f(x) + ∇f(x) T y + 1 2 yT ∇ 2 f(x + ty)y.
Teorema 13.5 (Condição necessária de otimalidade de primeira ordem).
Seja f : R n → R. Se f é diferenciável em x e x é ótimo (máximo ou mínimo)
local de f, então ∇f(x) = 0.
Versão Preliminar
Intuitivamente, o gradiente em x ∗ deve ser zero, de outra forma ele
indicaria uma direção para onde f teria valores ainda melhores. Este raciocínio
é formalizado a seguir.
0
2