Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
30 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Segundo caso (colunas L.D.): se a 1 , . . . , a k são L.D., então existem α 1 , . . . , α k ,
com pelo menos um α j > 0 tais que
∑
αj a j = 0
Multiplicamos a equação por ε:
k∑
εα j a j = 0 (2.4)
Temos também, da definição do programa linear, que
Calculamos agora (2.5) − (2.4):
j=1
k∑
x j a j = b (2.5)
j=1
k∑
x j a j − εα j a j = b
j=1
k∑
a j (x j − εα j ) = b
j=1
e portanto os (x j − εα j ) formam uma solução para o sistema Ax = b.
Para garantir que a solução é viável escolhemos
{ }
xi
ε = min , α i > 0
j α i
Seja p o índice do mínimo definido acima, de forma que ε = x p /α p . Para
p,
(x p − εα p ) = x p − x pα p
= 0
α p
Para i ≠ p,
(x i − εα i ) = x i − x pα i
.
α p
Como x i > 0 e xpα i
α p
≤ x i , temos x i ≥ 0 (não teremos uma solução inviável).
A variável de índice p torna-se zero, e a nova solução
Versão Preliminar
x ′ = (x 1 − εα 1 , . . . , x k−1 − εα k−1 , 0, . . . , 0)
tem então no máximo k − 1 variáveis positivas. Se as colunas associadas
com estas k − 1 variáveis ainda forem L.D. repetimos a operação; senão, o
primeiro caso se aplica.