Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
11.1. PLANOS DE CORTE 149
e portanto
x i + ∑ j>m
⌊a ij ⌋ x j ≤ b i
Como procuramos um valor inteiro para x i , e esta solução determina que
x i = b i , podemos usar ⌊b i ⌋ sem alterar a solução inteira.
x i + ∑ j>m
⌊a ij ⌋ x j ≤ ⌊b i ⌋ i ≤ m (11.2)
Subtraindo 11.2 de 11.1, obtemos
∑
(a ij − ⌊a ij ⌋) x j ≥ b i − ⌊b i ⌋
j>m
Observe que a variável x i básica desaparece. Esta desigualdade é o corte
de Gomory para a i-ésima linha, e a adicionamos diretamente ao tableau
Simplex, após multiplicá-la por −1 e adicionar uma variável de folga s, que
passa a ser básica, com valor −⌊b i ⌋:
− ∑ j>m
(a ij − ⌊a ij ⌋) x j + s = −b i + ⌊b i ⌋
Desta discussão fica claro o Teorema a seguir.
Teorema 11.1. O corte de Gomory não exclui solução inteira.
O próximo Teorema também é parte da essência do método dos planos
de corte.
Teorema 11.2. Após a adição de um corte de Gomory, o tableau torna-se
inviável para o primal e viável para o dual.
Demonstração. Se b i não era inteiro, então ⌊b i ⌋ > 0, e o tableau agora tem
a linha s = − ⌊b i ⌋, e portanto é inviável para o primal.
A viabilidade para o dual segue trivialmente do fato de não termos modificado
a última linha do tableau, onde estão os coeficientes relativos de
custo c j − z j (que são a solução para o dual).
Podemos então prosseguir com o método Simplex dual, obtendo uma
nova solução. Se a nova solução for inteira, encontramos o ótimo. Se for
fracionária, recomeçamos e adicionamos um novo corte. Se não houver
solução viável, é porque não há solução inteira para o problema original.
É possível garantir que o método dos planos de corte sempre termine
em tempo finito, usando determinada disciplina nas escolhas feitas durante
a execução do método Simplex. Não faremos a demonstração neste
texto.
Versão Preliminar