Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.4. ALGORITMO SIMPLEX DUAL 87
Agora retiramos a coluna a i da base e incluímos a k , obtendo uma solução
mais próxima de ser viável para o primal (porque tem valor melhor
para o dual).
O algoritmo dual-Simplex é mostrado a seguir.
obtenha A B , base do primal com c j − z j < 0 ∀j /∈ B
calcule x B = B −1 b
enquanto x B tem elementos negativos :
n ← {i : x i < 0}
se a ij ≥ 0 para algum i ∈ n e todo j > m:
PARE -- primal ilimitado
se a ij < 0 para algum i ∈ n e todo j > m:
r ← arg min i {x i < 0}
{ }
zj −c
k ← arg min j j a rj
: j > m, a rj < 0
retire a r da base e inclua a k
calcule a nova base A B
PARE -- x B é ó tima
Notas
A demonstração do teorema forte da dualidade (Teorema 4.13) dada neste
texto é semelhante àquela apresentada por Alexander Schrijver [Sch98].
Exercícios
Ex. 33 — Mostre o dual dos problemas a seguir.
(i) max x 1 + x 2 + 3x 3
s.a. : x 1 − 2x 2 = 5
x 1 + x 3 ≥ 10
3x 2 + 4x 3 ≤ 9
(ii) min 3x 1 + 2x 2
s.a. : x 1 + x 2 ≥ 1
x 1 − x 2 ≤ 2
Versão Preliminar
(iii) max 2x 1 + 2x 2 − 3x 3
s.a. : 2x 1 + 3x 2 ≤ 3
5x 2 + 5x 3 ≤ 5
9x 1 + 2x 3 ≤ 4
(iv) min 2x 1 + 5x 2
s.a. : 2x 1 + 7x 2 ≥ 5
2x 2 − x 3 = 1