Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.1. CONJUNTOS CONVEXOS 23
Demonstração. Demonstramos apenas o caso da soma. Os outros são pedidos
no exercício 10.
Sejam a, b ∈ S i + S j . Então a = a 1 + a 2 e b = b 1 + b 2 , com a 1 , b 1 ∈ S i e
a 2 , b 2 ∈ S j . Para 0 ≤ λ ≤ 1,
que está em S i + S j .
λa + (1 − λ)b = λ(a 1 + a 2 ) + (1 − λ)(b 1 + b 2 )
= λa 1 + λa 2 + (1 − λ)b 1 + (1 − λ)b 2
= λa 1 + (1 − λ)b 1 + λa 2 + (1 − λ)b 2
= [λa 1 + (1 − λ)b 1 ] + [λa 2 + (1 − λ)b 2 ] ,
Definição 2.24 (poliedro). A interseção de um número finito de semiespaços
em R n é um poliedro.
Podemos reescrever esta definição.
Definição 2.25 (poliedro). Um conjunto de pontos P ∈ R n é um poliedro
se e somente se pode ser descrito como P = {x ∈ R n : Ax = b}, onde A é
uma matriz e b ∈ R n .
Um poliedro pode não ser limitado, como por exemplo o poliedro definido
pelas inequações
ilustrado na figura a seguir.
x 2
−5x 1 + 2x 2 ≤ −2
−6x 1 + 25x 2 ≥ 27
2 ,
4
3
2
Versão Preliminar
1
0
-1 0 1 2 3 4
-1
−5x 1 + 2x 2 ≤ −2
−6x 1 + 25x 2 ≥ 27
2
x 1