Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)
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notas <strong>de</strong> aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini<br />
160 CAPÍTULO 12. PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA<br />
Demonstração. Basta que a variável x n seja igual a um.<br />
Mais <strong>de</strong>talhadamente: sejam<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
q 11 q 12 q 13<br />
1<br />
Q = ⎝q 21 q 22 q 23<br />
⎠ , x = ⎝x 1<br />
⎠<br />
q 31 q 23 q 33 x 2<br />
Então<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
x T Qx = ( )<br />
q 11 q 12 q 13 1<br />
1 x 1 x 2<br />
⎝q 21 q 22 q 23<br />
⎠ ⎝x 1<br />
⎠<br />
q 31 q 23 q 33 x 2<br />
⎡ ( ) ⎤ ⎛ ⎞<br />
( q11 q 12 q 13 )<br />
1<br />
= ⎣+x 1 ( q21 q 22 q 23<br />
⎦ ⎝<br />
)<br />
x 1<br />
⎠<br />
+x 2 q31 q 32 q 33 x 2<br />
⎛<br />
⎞T ⎛ ⎞<br />
q 11 + x 1 q 21 + x 2 q 31 1<br />
= ⎝q 12 + x 1 q 21 + x 2 q 32<br />
⎠ ⎝x 1<br />
⎠<br />
q 13 + x 1 q 23 + x 2 q 33 x 2<br />
q 11 + x 1 q 21 + x 2 q 31<br />
= +x 1 (q 12 + x 1 q 22 + x 2 q 32 )<br />
+x 2 (q 13 + x 1 q 23 + x 2 q 33 )<br />
= q 11 + (q 21 + q 12 )x 1 + (q 31 + q 13 )x 2 + (q 32 + q 23 )x 1 x 2 + q 22 x 2 1 + q 33x 2 2<br />
Note a presença <strong>de</strong> termos constantes e <strong>de</strong> grau um. Descrevemos a forma<br />
geral <strong>de</strong> uma função <strong>de</strong> grau dois em duas variáveis com uma matriz <strong>de</strong><br />
or<strong>de</strong>m tres.<br />
<br />
Exemplo 12.6. A função dada no exemplo 12.4,<br />
é <strong>de</strong>scrita por<br />
f(vex) = 2x 2 1 + x2 3 + x 1x 2 − 4x 2 x 3 − x 1 + 3x 2<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 3/2 0<br />
Q = ⎜−1/2 2 1/2 0<br />
⎟<br />
⎝ 3/2 1/2 0 −2⎠ ,<br />
0 0 −2 2<br />
Versão Preliminar<br />
jé que<br />
x T Qx = 2x 2 1 + x2 3 + x 1x 2 − 4x 2 x 3 − x 1 + 3x 2 .<br />
◭
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