Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.2. SOLUÇÕES VIÁVEIS PARA PROGRAMAS LINEARES 25
Exemplo 2.32. Um ponto tem dimensão zero, porque é um conjunto de
um (0+1) único ponto. Uma reta é um politopo de dimensão um, porque
um terceiro ponto sempre pode ser descrito como combinação afim de
dois (1+1) outros na mesma reta. Um triângulo tem dimensão dois, porque
um quarto ponto pode ser descrito como combinação afim de outros três
(2+1) no mesmo plano. ◭
Teorema 2.33. Um politopo P tem dimensão igual à dimensão de aff(P).
Exemplo 2.34. Sabemos que um triângulo tem dimensão dois. De fato, a
envoltória afim do triângulo é R 2 , com dimensão dois.
◭
2.2 Soluções viáveis para programas lineares
Teorema 2.35. O conjunto S de soluções viáveis para um programa linear
é fechado, convexo e limitado por baixo.
Demonstração. Pela restrição x ≥ 0, S é limitado por baixo. Além disso,
S é interseção dos semiespaços definidos pelas restrições do problema e
pela restrição de não negatividade. Como os semiespaços são convexos e
fechados, S também é.
Teorema 2.36. Seja S o conjunto de soluções viáveis para um programa
linear. Então, se existe solução ótima para o programa linear, existe um
ponto extremo em S com o valor ótimo.
Antes de elaborarmos a demonstração formal deste Teorema, notamos
que é intuitivamente simples perceber o que está sendo enunciado.
Escolhemos um ponto dentro do poliedro. Traçamos neste ponto um hiperplano
ortogonal ao gradiente do objetivo e movemos esse hiperplano
na direção do gradiente. Há uma distância máxima que esse movimento
pode ser feito sem que o hiperplano fique completamente fora do poliedro.
Quando essa distância é máxima, o hiperplano toca o poliedro em
um ponto extremo (pode tocar em uma aresta ou face, mas ainda assim
ele toca um ponto extremo). A figura a seguir ilustra graficamente esta
intuição.
Versão Preliminar