ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 32 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS Definição 2.47. Seja A uma matriz quadrada simétrica. A é semidefinida positiva se x T Ax ≥ 0 para todo x. A é definida positiva se x T Ax ≥ 0 para todo x ≠ 0. E A é indefinida se x T Ax assume valores positivos e negativos. Alternativamente, uma matriz é semidefinida positiva se todos seus autovalores são não-negativos. Definição 2.48 (Matriz Hessiana). Seja f : R n → R duas vezes diferenciável. A matriz Hessiana de f em x, denotada por H f (x) ou ∇ 2 f(x) é a forma bilinear ∇ 2 (x) i,j = ∂2 f(x) , ∂x i ∂x j ou ⎛ ∂ 2 f (x) ∂x 2 1 ∂ ∇ 2 2 f ∂x f(x) = 2 ∂x 1 (x) ⎜ . ⎝ ∂ 2 f ∂x n∂x 1 (x) ∂ 2 f ∂ ∂x 1 ∂x 2 (x) . . . 2 f ∂ 2 f ∂x 2 2 ∂x 1 ∂x n (x) (x) . . . ∂ 2 f ∂x 2 ∂x n (x) . . .. ∂ 2 f ∂ ∂x n∂x 2 (x) . . . 2 f ∂x 2 n (x) Versão Preliminar ⎞ . ⎟ ⎠ Lema 2.49. Seja S um subconjunto não vazio, aberto e convexo de R n . Seja f : S → R diferenciável. Então f é convexa se e somente se, para todos x, x ′ ∈ R n , f(x ′ ) ≥ f(x) + ∇(f(x)) T (x ′ − x). O Lema 2.49 nos diz que f é convexa se e somente se seu gráfico está sempre acima de qualquer plano tangente a ele – ou seja, que seu epigrafo é convexo. Exemplo 2.50. A função f(x) = 2x 2 + 1 é convexa, já que sua Hessiana é ∇ 2 f(x) = ( 4 ). Verificamos que, de fato, f(x) + ∇(f(x)) T (x ′ − x) = f(x) + 4x(x ′ − x) = 2x 2 + ( 4x )( x ′ − x ) = 2x 2 + 4x(x ′ − x) = 2x 2 + 4xx ′ − 4x 2 ≤ 2(x ′ ) 2 Além de verificar algebricamente, observamos o gráfico de f(x) e percebemos que realmente, os planos tangentes sempre ficam abaixo do gráfico.
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 2.3. FUNÇÕES CONVEXAS 33 f(x) 9 0 0 2 x Exemplo 2.51. A função f(x) = x 3 − x 2 − x + 1 não é convexa. Vemos que o plano tangente nãofica sempre acima de todos os pontos do gráfico, como é possível perceber na figura a seguir. f(x) 3 2 1 0 0 x Versão Preliminar Teorema 2.52. Seja f : D → R, com D ⊂ R n não vazio aberto e convexo, e f contínua e duas vezes diferenciável. f é convexa se e somente se ∇ 2 f(x) é semidefinida positiva para todo x ∈ Dom(f). ◭ ◭
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