Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
80 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
4.3 Teoremas de dualidade
As soluções ótimas para o primal e o dual tem o mesmo valor, como mostraremos
nos próximos teoremas.
Teorema 4.10 (dualidade fraca). Sejam x e y soluções para o primal e o
dual de um programa linear. Então c T x ≤ b T y.
Demonstração.
c ≤ A T y
c T ≤ y T A
c T x ≤ y T Ax
≤ y T b
= b T y
Corolário 4.11. Se x 0 e y 0 são soluções para o primal e o dual, e c T x 0 =
b T y 0 então ambas são soluções ótimas.
Demonstração. Seja x solução viável para o primal. Então c T x ≤ b T y 0 =
c T x 0 .
As restrições de um programa linear max c T x, s.a Ax ≤ b são da forma
a i x ≤ b i , onde a i é a i-ésima linha de A. Estas restrições podem ser visualizadas
como hiperplanos, cada um definindo um semiespaço. A solução
ótima está exatamente na interseção das restrições.
a 1
a 2
a 3
Na figura anterior, a solução ótima é a interseção das restrições a 1 x =
b 1 e a 2 x = b 2 , e a 3 é redundante.
Versão Preliminar
Lema 4.12. Se o ponto ótimo de um programa linear não pertence ao hiperplano
definido por uma das restrições, ela é redundante e pode ser
removida sem que a solução ótima mude.