Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
12.5. PONTOS INTERIORES 169
12.5 Pontos interiores
Métodos de pontos interiores podem ser usados na resolução de problemas
de programação quadrática. O método de affine scaling, descrito na
seção 6.2.1, adapta-se à programação quadrática: o gradiente do objetivo,
projetado no espaço nulo de A, muda a cada iteração porque depende do
ponto. Além disso, não basta que projetemos no espaço nulo de A, porque
se o ótimo for ponto interior, o algoritmo andará de lado a lado da região
viável, sem chegar ao ótimo.
Notas
Os primeiros métodos para resolução de programas quadráticos foram
desenvolvidos por Wolfe [Wol59], Dantzig [Dan61], e Beale [Bea55]. Métodos
modernos para otimização de funções convexas em geral são descritos
por Luenberger [Lue10].
O método do elipsoide pode ser usado para programas quadráticos
quando a função objetivo é convexa. Quando a função objetivo não é convexa,
o problema é NP-difícil [PS91].
Exercícios
Ex. 80 — Converta os problemas do início do Capítulo para a forma min x T Qx,
s.a. : Ax = b.
Ex. 81 — Desenvolva um programa que leia uma expressão quadrática e
mostre Q tal que x T Qx seja equivalente à expressão dada (este poderia ser
um módulo de entrara para um sistema de otimização).
Ex. 82 — Use o método de Beale para obter uma solução ótima para os
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