Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
13.1. OTIMIZAÇÃO SEM RESTRIÇÕES 175
No entanto, não se trata de um mínimo local. De fato, como esta função é
estritamente crescente 2 , ela não tem mínimos (locais ou globais)! ◭
Se a função é convexa, todo mínimo local é mínimo global, e o teste do
gradiente, enunciado nas condições de primeira ordem é também suficiente.
Em outros casos, precisamos de testes adicionais.
Teorema 13.7 (Condição necessária de otimalidade de segunda ordem).
Seja f : R n → R. Então:
• Se x ∗ é mínimo local então ∇ 2 f(x ∗ ) é semidefinida positiva.
• Se x ∗ é máximo local então ∇ 2 f(x ∗ ) é semidefinida negativa.
Demonstração. Suponha que ∇ 2 f(x ∗ ) não é semidefinida positiva. Então
deve haver algum d ∈ R n tal que
d T ∇ 2 f(x ∗ )d < 0.
Como ∇ 2 f é contínua perto de x ∗ , deve haver algum k ∈ R tal que para
todo r ∈ [0, k],
d T ∇ 2 f(x ∗ + rd)d < 0.
Fazendo uma expansão de Taylor, para todo s ∈ (0, k], existe algum r tal
que
f(x ∗ + sd) = f(x ∗ ) + sd T ∇f(x ∗ ) + 1 2 s2 d T ∇ 2 f(x ∗ + rd)d
= f(x ∗ ) + 1 2 s2 d T ∇ 2 f(x ∗ + rd)d (∇f(x ∗ = 0), Teorema 13.5)
< f(x ∗ ),
e encontramos uma direção a partir de x ∗ na qual f decresce.
Se f é convexa, a matriz hessiana de f será positiva definida para todo
o domínio de f.
O Teorema 13.8 dá condições suficientes para que um ponto seja ótimo
local. A demonstração é pedida no Exercício 87.
Teorema 13.8 (Condições suficientes de otimalidade de segunda ordem).
Seja f : R n → R uma função contínua e duas vezes diferenciável; suponha
que ∇ 2 f é contínua em uma vizinhança aberta de x ∗ , e que ∇f(x ∗ ) = 0.
Então,
Versão Preliminar
2 Verifica-se facilmente: trata-se de f(x) = (x−1) 3 +2, que é x 3 transladada para a direita
em 1 e para cima em 2.