Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
132 CAPÍTULO 9. CONTROLE DISCRETO
para qualquer i).
Se sabemos o valor máximo que conseguimos acomodar na mochila
usando apenas os i − 1 primeiros itens, podemos calcular o valor máximo
usando também o i-ésimo item. Se o novo item “cabe” em alguma das
soluções “ótimas para capacidade k” anteriores, temos uma nova solução.
A seguinte equação recursiva expressa este método.
m i,k = max {m i−1,k , m i−1,k−wi + v i }
Começamos com m i,0 = m 0,k = 0, para todo i e k. Os valores para os m i,j
podem ser obtidos por programação dinâmica, e o valor ótimo é m n,C . O
algoritmo para determinar m n,C é mostrado a seguir.
mochila (v, w, C):
m i,0 ← 0
m 0,k ← 0
para i de 1 a n:
para k de 1 a C:
se w i ≤ k: // item i cabe
m i,k ← max {m i−1,k , m i−1,k−wi + v i }
sen ão:
m i,k ← m i−1,k
retorne m n,C
O algoritmo tem complexidade de tempo O(nC). O tamanho de C é
codificado em bits, portanto a complexidade é O(2 k ), onde k é o número
de bits usado para representar C.
Exemplo 9.1. Suponha que os pesos, valores e a capacidade sejam w, v e
C dados a seguir.
w = ( 3 1 4 2 )
v = ( 4 3 8 2 )
C =8
A tabela com os m i,k mostra o valor ótimo de 15.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 4 4 4 4 4 4
2 0 3 3 4 7 7 7 7 7
3 0 3 3 4 8 11 11 12 15
4 0 3 3 4 8 11 11 12 15
Versão Preliminar
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