ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 4 CAPÍTULO 1. PROGRAMAÇÃO LINEAR A função 500x + 700y expressa o lucro de x lotes de jaquetas e y lotes de calças. Queremos encontrar as quantidades de lotes – ou seja, os valore sx e y – para os quais esta função atinge seu máximo, obedecendo as seguintes restrições: • 10x + 15y ≤ 400 (o custo da produção não ultrapassa 400) • x + 2y ≤ 22 (a quantidade de dias usados não ultrapassa 22) • x ≥ 5 (pelo menos cinco lotes de jaquetas) • y ≤ 10 (no máximo dez lotes de calças) Como tanto a função objetivo (500x + 700y, a ser maximizada) como as restrições são funções lineares nas variáveis x e y, dizemos que este é um problema de otimização linear (ou de programação linear). Na maior parte deste livro, trataremos de problemas deste tipo. Em alguns Capítulos abordaremos também problemas de otimização não linear, onde a função objetivo e as restrições não precisam ser funções lineares. Este é um exemplo bastante prático e aplicado. Há outros problemas, completamente diferentes deste, que podem ser modelados como programação linear – inclusive problemas mais abstratos e sem uma ligação aparente tão clara com aplicações práticas. Mais exemplos de aplicação modelagem serão dados no final deste Capítulo. Definição 1.1 (problema de programação linear). Um problema de programação linear consiste de uma função objetivo, linear em n variáveis, e um conjunto de restrições, representadas por m desigualdades (ou igualdades) lineares. Uma solução para o problema é um vetor em R n . Uma solução é viável se satisfaz as restrições, e inviável caso contrário. Um problema pode ser de maximização ou de minimização. A solução ótima para o problema é a solução viável que dá o maior valor possível à função objetivo, quando o problema é de maximização, ou aquela que dá o menor valor ao objetivo, se o problema é de minimização. Versão Preliminar Problemas de programação linear são normalmente descritos em uma forma padrão, detalhada na próxima seção.
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 1.1. FORMA PADRÃO 5 1.1 Forma padrão Na maior parte do tempo, presumiremos que o programa linear está na seguinte forma. max c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x n s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m e x i ≥ 0 para alguns i. Mostramos agora como transformar qualquer programa linear em outro equivalente na forma padrão. • Maximização/minimização: notamos que min c T x é o mesmo que max −c T x. • Desigualdades: considere a restrição a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n ≥ b i . Esta desigualdade pode ser transformada em a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n − s i = b i , . s i ≥ 0 Chamamos s i de variável de folga quando a desigualdade vale com o lado direito igual ao esquerdo, temos s i = 0. Quando o lado direito da desigualdade é menor que o esquerdo, temos s i > 0. Da mesma forma, podemos transformar em a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n ≤ b i . Versão Preliminar a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n + u i = b i . • Variáveis com valores negativos: se, em uma solução, uma variável x i puder ser negativa, usamos duas variáveis positivas para representála. Fazemos x i = p − q, com p, q ≥ 0.
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