Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
158 CAPÍTULO 12. PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA
drática:
min ∑ (y i − a 0 − a 1 x i,1 − a 2 x i,2 − . . . − a k x i,k ) 2
i
s.a. : Ra = b
a ≥ 0.
Exemplo 12.2 (maximização de lucro). Em um segundo exemplo, um empresário
pretende maximizar o lucro que provém da fabricação de diferentes
produtos. O preço p i de cada produto decai linearmente com a
quantidade x i produzida:
p i = k i − γ i x i
onde k i > 0 e γ i > 0.
Para maximizar o lucro, o empresário resolve o programa quadrático
min ∑ (k i − γ i x i ) x i
i
s.a. : Ax = b
x ≥ 0.
onde A e b determinam restrições advindas da quantidade de recursos
para a fabricação de cada tipo de produto.
◭
Exemplo 12.3 (otimização de portfólio). O terceiro exemplo é o de um investidor
procurando construir uma carteira de ativos. O investidor conhece
a variância σ ii e as covariâncias σ ij dos ativos, além da esperança de
retorno (µ i ) de cada um. Ele quer fixar um retorno mínimo esperado M e
minimizar seu risco. Este é um problema de programação quadrática:
min ∑ ∑
σ ij x i x j
i j
∑
s.a. : x i = 1
Versão Preliminar
i
∑
µ i x i ≥ M
i
x ≥ 0.
◭
◭