Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.2. SOLUÇÕES VIÁVEIS PARA PROGRAMAS LINEARES 29
Demonstração. Seja K o conjunto de soluções ótimas, x ∗ 1 , x∗ 2 ∈ K, e z∗ o
valor ótimo da função objetivo. Então,
c T x ∗ 1 = cT x ∗ 2 = z∗ .
Como são viáveis, x ∗ 1 , x∗ 2
∈ S e S é convexo, portanto
Temos então
λx ∗ 1 + (1 − λ)x∗ 2 ∈ S, 0 ≤ λ ≤ 1.
c T (x ∗ 1 , x∗ 2 ) = λcT x ∗ 1 + (1 − λ)cT x ∗ 2
= λz ∗ + (1 − λ)z ∗ = z ∗ .
Assim, λx ∗ 1 + (1 − λ)x∗ 2
∈ K, para 0 ≤ λ ≤ 1, e K é convexo.
Corolário 2.41. Se há mais de uma solução ótima para um programa linear,
há uma quantidade infinita e não enumerável delas.
Claramente, o conjunto de soluções ótimas contém um único ponto
se for um ponto extremo isolado, ou infinitos pontos, se for a envoltória
convexa de alguns pontos extremos.
Teorema 2.42. Se existe solução viável para um programa linear, então
também existe solução viável básica.
Demonstração. Sejam a 1 , a 2 , . . . , a n as colunas de A, e x = (x 1 , x 2 , . . . , x n )
viável:
x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . = b.
Suponha, sem perda de generalidade, que as k primeiras variáveis de x,
são maiores que zero, e portanto x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x k a k = b.
Trataremos dois casos: no primeiro, a 1 , . . . , a k são linearmente independente.
No segundo, são linearmente dependentes.
Primeiro caso (colunas L.I.): nesta situação, k ≤ m, porque A tem posto
completo.
Versão Preliminar
• Se k = m a solução é, por definição, básica.
• Se k < m, então m − k colunas podem ser obtidas de A para formar
uma matriz m × m com colunas a 1 , . . . , a k , . . . , a m , todas L.I.