Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
Capítulo 9
Controle Discreto
Este Capítulo trata de problemas de controle em tempo discreto – um problema
que pode ser naturalmente modelado como programa linear. Uma
vez que o problema também pode ser resolvido usando a técnica de programação
dinâmica, esta também é explorada. Em algumas áreas da Matemática
Aplicada, controle discreto e programação dinâmica são tratados
como um só tópico.
9.1 Programação Dinâmica
Programação Dinâmica é o nome de uma técnica geral de resolução de
problemas. Iniciamos com um subproblema pequeno, achamos a solução
ótima para esta subproblema e depois a usamos para construir soluções
para subproblemas maiores.
Considere a seguinte situação: temos diversos itens, x 1 , x 2 , ..., x n – cada
um com um peso w 1 , ..., w n e um valor v 1 , ..., v n . Temos uma mochila com
capacidade C e queremos incluir na mochila itens que maximizem o valor,
sem exceder a capacidade da mochila.
O problema da mochila pode ser formulado como um programa linear:
max v T x
s.a : w T x ≤ C
Versão Preliminar
Esta formulação só faz sentido, no entanto, se os diversos itens puderem
ser fracionados. Se exigirmos que as quantidades sejam inteiras teremos
um problema de programação inteira.
Denotamos por m i,k o valor que podemos incluir em uma mochila de
capacidade k usando somente os i primeiros itens (e claramente, m i,0 = 0
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