Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
12.2. REPRESENTAÇÃO 159
12.2 Representação
Na forma mais geral, um programa quadrático é usualmente definido por
min z(λ, x) = λc T x + 1 2 xT Qx.
s.a. : Ax ≤ b
x ≥ 0
onde λ é um parâmetro escalar e x é um vetor com n elementos.
• λc T x descreve a parte linear da função quadrática;
• Q é uma matriz quadrada de ordem n descrevendo uma função quadrática;
• A e b descrevem as restrições. A é uma matriz m × n, e b é um vetor
com m elementos.
É comum exigir que Q seja semidefinida positiva, para garantir que a
função sendo otimizada é convexa.
Exemplo 12.4. A função
f(vex) = 2x 2 1 + x2 3 + x 1x 2 − 4x 2 x 3 − x 1 + 3x 2
é descrita por λ = 1 e
⎛ ⎞
−1
⎛
4 1
⎞
0
c = ⎝ 3⎠ , Q = ⎝1 0 −4⎠ ,
0
0 −4 2
jé que
c T x + 1 2 xT Qx = 2x 2 1 + x2 3 + x 1x 2 − 4x 2 x 3 − x 1 + 3x 2 .
Pode-se também adotar uma descrição mais compacta:
min z(x) = 1 2 xT Qx.
Versão Preliminar
s.a. : Ax ≤ b
x ≥ 0
Proposição 12.5. Qualquer função quadrática com n−1 variáveis pode ser
descrita por uma única matriz simétrica Q de ordem n.
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