Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.3. TEOREMAS DE DUALIDADE 83
Observamos também que o tableau simplex para o dual é exatamente
o tableau transposto do primal:
⎛
( )
AB A N b
−→ ⎝
c T B
c T N
A T B
A T N
b T
O Teorema das folgas complementares, enunciado a seguir, é usado no
desenvolvimento do algoritmo primal-dual. Informalmente, o Teorema
determina que quando há solução ótima para um par de problemas duais,
se a i-ésima variável da solução do primal é não zero, a solução do dual
torna sua i-ésima linha uma igualdade (sem folga); e quando a i-ésima
linha do dual é desigualdade estrita, a i-ésima variável do primal tem valor
zero. Ou seja, se x j ≠ 0, então a j-ésima linha do dual é satisfeita sem folga,
(a j ) T y = c j .
Teorema 4.17 (das folgas complementares). Sejam um programa linear e
seu dual,
max c T x, s.a.: Ax ≤ b
min b T y, s.a.: A T y ≥ c
Duas soluções x e y para o primal e dual são ótimas se e somente se
y T (Ax − b) = 0
x T (c − A T y) = 0.
Demonstração. Sejam x e y soluções viáveis para o primal e dual. Temos
Ax ≤ b
b − Ax ≥ 0
y T ( b − Ax ) ≥ 0,
porque y é viável (y ≥ 0). Similarmente,
c B
c N
Versão Preliminar
A T y ≥ c
A T y − c ≥ 0
x T ( A T y − c ) ≥ 0.
⎞
⎠